Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. О многочленнах ортогональных в конечном интервале
 
djvu / html
 

где Рп(х) есть произвольный полином (2) степени (я), коэфи-циент при наивысшей степени которого равен 1. Будет покарано, что равенство (8) обобщается асимптотически и что
(13) Я [* (*)] -- Ln (t (x
по крайней мере, для /^2, причем ортогональные полиномы Rn (x), минимизирующие интеграл (12) при 1=2 (соответствующие тригонометрическому весу t*(x)), минимизируют асимптотически интеграл (12) при />2, а также уклонение произведения (И).
Этот результат является следствием такой теоремы: Ортогональные и нормированные полиномы Rn(x) относительно тригонометрического веса t (x), т. е. определяемые условиями
(14) I /?„(*) Ят(*)г7=5 = °> если
—1 и
+1
(15)
имеют асимптотическое выражение
(16) R-n(x) ~ C°S
где 6 = arccosJc и
07) ^.
—1
справедливое равномерно на всем отрезке ( — 1, + 1), если функция t(x) [удовлетворяющая (10)] удовлетворяет еще условию
(18) |*(x+S)-*(*)||lnS|i+'0, ?>0).
5. Доказательство этой теоремы займет центральное место в первой части нашей работы; но, допуская справедливость формулы (16), мы выведем из iHee теперь же равенство (13). Для случая / = 2 это утверждение очевидно, так как полином Rn (x), умноженный на \ft(x), достигает в л + 1 точках с последовательно противоположными знаками свой модуль

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120


Математика