Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. О многочленнах ортогональных в конечном интервале
 
djvu / html
 

Мы докажем, что случай, когда тригонометричес-
м _ х\л п i Л\р
кий вес представляется в виде t(x) = ' -- ~,
th(x)
где th.(x) не отрицательный на отрезке ( — 1, +1) многочлени а и |J равны 0 ил и 1, является единстве и и ы м, при. котором асимптотическое выражение
(112) /,.(,)
.
/*(*)
есть полином. *
Действительно, Fn (д:) удовлетворяет разностному уравнению
(1 1 3) Р„+1 (х) + /w (х) - 2 * /=„ (х).
Следовательно, Fn(x) необходимо должно иметь вид
Fn (х) = А (х) (х + /*• — 1 )" + В (л) (л — /jf^l )", и для того, 4To6uFl(x)nFi^1(x) были полиномами, нужно, чтобы
(114)
А (х) -
Таким образом произведение
где Р(л) = Рг (х), Q (х) = /=}41 (л)
есть неотрицательный на ( — 1, -4- ]) полином,4 или такой полином, деленный на 1 — л'г или на 1 ± л: в зависимости от того, обращается ли Q (х) в нуль или нет для л: = ± I.1] Имеем, следовательно,
~ -" = cos (л
1 Для этого необходимо и достаточно, чтобы Ft+1(l) — /^ (1), /^+1 ( — 1) = = — F,(— I). T
2 См. мою статью „Sur une classe de polynomes orthogonaux" (Сообщения Харьковского матем. общества., и Института математических наук Украины, т. IV, 1930).

 

1 10 20 30 40 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 70 80 90 100 110 120


Математика