Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. О многочленнах ортогональных в конечном интервале
 
djvu / html
 

смысле. Отсюда следует при этом дополнительном условии, что полином Рп(х), обращающий в минимум интеграл /„, должен быть единственным, так как если два полинома Ря(х) и Qn(x) дают одно и то же значение этому интегралу, то поли-
р (х) 4- О (х)
ном —?-*—!•— приведет к меньшему значению.
^
С другой стороны, имеем, что при всяком <р
я + «р (6 bis) /„ = 1 f /[|Pn(COSO)|]d8,
— 7С+<р
2п следовательно, в частности, взяв <р = — и замечая, что
Р„ Г cos /9 + — \ 1 = —Lj cos n9 + с; cos 7Г-^1 9 + ... + ^,
мы должны иметь тождественно (так как полином, дающий минимум, единственен)
(7) Р
Это равенство выражает, что Рп (cos 9) имеет период — следовательно, Pn(cos9) сводится к единственному члену I1'1
Pn (cos 9) = ^= ад-
Доказательство окончено для случая, когда /(z) конвексна в узком смысле; для того, чтобы перейти к общему случаю, достаточно заметить, что всякая функция, конвексная в широком смысле, может быть рассматриваема как предельная для функций конвексных в узком смысле; следовательно, в этом случае также никакой полином Р„(х) не сможет дать интегралу /„ величину меньшую, чем
/
dx
—1
Примечание. Можно доказать при помощи [такого же рассуждения, что
а0 cos я9 + bu sin я9 дает наименьшую величину интегралу
J /| а0 cos n9 + Ьв sin «9 + а, cos я — 1 9 + ... + *n-i sin 9 4- а„ \ (№,
«
какова бы ни была функция f(z) неубывающая и конвексная.
1 Квадратные скобки указывают номер примечаний автора, помещенных в конце книги.

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120


Математика