Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. О многочленнах ортогональных в конечном интервале
 
djvu / html
 

и (17), где t(x) заменено на ? (х), имеем /Р =
где Rpn,p(x) обозначает ортогональный нормированный полином степени рп, соответствующий тригонометрическому весу tp (x). Следовательно, при зафиксированном р ;> 2, /р стремится
к нулю вместе с —; это очевидно при /»=2 вследствие уравне-
ft
ний ортогональности для /йя.ги того факта, что Р„(х) — R*n(x) есть полином степени не выше 2»—1; точно также, если Оь(*) есть полином степени h < я, достаточно высокой, чтобы Qh(jc)
отличался сколь угодно мало от [t(x)]l~~z, мы получим для Р>2
(23) Л* (*)]' Яр*, W Qb W [^ (*) -^ (*)3^-^L—. - о,
о
откуда следует, что /р стремится к нулю, так что для достаточно большого п
м<ъ
и неравенство (22) доказано.
6. Примечание. Мы доказали выше асимптотическое равенство (13) только при условии (18), но соображения, которые нам позволят в дальнейшем избавиться от этого ограничения в случае / = 2, применимы при всяком /; таким образом все обобщения равенства (13), соответствующие / = 2, будут справедливы для / > 2.
Рассуждение, которое мы провели, непригодно для /<2; между тем, без сомнения, равенство (13) существует для всех значений /;>!. Для разрешения вопроса достаточно было бы изучить интересный частный случай /=1.
Изучение этого последнего случая позволит обобщить (асимптотически) еще другие свойства тригонометрических полиномов Тп(х); не останавливаясь долго на этом вопросе, ограничимся несколькими общими замечаниями.
Определение полиномов Qn_i(x) степени п—1, минимизирующих интеграл
+1
j\
—1
10

 

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120


Математика