Избранное
ЭБ Нефть
и Газ
Главная
Оглавление
Поиск +
Еще книги ...
Энциклопедия
Помощь
Для просмотра
необходимо:


Книга: Главная » Бернштейн С.Н. Теория вероятностей
 
djvu / html
 

140 ГЛАВНЕЙШИЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Возвращаясь к общему случаю, получим математическое ожидание числа т опытов, необходимых для появления события A k \ аз, замечая, что
Mk ----- мат. ожид. m = k Я* 4- (k 4- t) P* , 4- . . . ; rn Pk 4- . . . ;
™ к • v ' я • 1 m
поэтому из
/"* / ч Гъ^ з I i т1^ "•* ^ " •*• I 1 Г"1 ^ "^
•k (j/)r.=Pi + . . . 4- А: ЯА у 4- . . . 4- т Р т у
где Р *-•--- О при /< &, заключаем, что
Но дифференцирование формулы (94 bis) (если заменить в ней k 4- 1 через k) дает
f. Г1Л-—
^"•"^ ' /I л* ill II л* 1*1 \*
»
Поэтому
qn q. qk_\ \ \ 1
Mk-^F. (\) = k+ --P-S- ^1-|- ... +-!?— = — 4- --- r ••• t --------
k ' PQ ' Pi ' Pk-l P0 PI Pk-1
Если, например (частный случай примера второго), pk - -- ------ - , где
.т^п, то математическое ожидание числа выниманий, необходимых для извлечения всех m белых шаров из ящика с п шарами (когда после каждого извлечения вместо вынутого шара обратно кладется черный шар), равно
,. п п п
М — 4- ----- г 4 --- „ 4- - - - -+• п,
т mm — 1 ' т — 2
Ы 1 ^1
, ЛГМ ^2 л" ' ' ' ^ /я
и при т весьма большом пред. - •••• т~ — пред. — - ----- — I.
п log m log т
Упражнения. 1) Вычислить математическое ожидание т'л и т*, где m есть число появлений события А при п независимых опытах, если при каждом опыте вероятность А равна р.
О т в е т: М. О. т3 --= л^ /?з ..<_ з^з ^а ^ 4- /гр Для вывода этих формул полагаем f(x) -~ (рх + q}n, тогда
Г (1) — пр = М. О. от; /" (1) = л (я ....... 1) р2 ~ М. О. т (т — 1);
/"' (1) =-- л (л — 1) (л — 2) /7» = М. О. m (т — 1) (от — 2);
(IV)
/ 7(1) = п (п — 1) (л — 2) (и — 3) /?4 = М. О. m (от — 1)(ш — 2) (т — 3). Требуемые формулы получаются благодаря тождествам
ж* = от (/л - - 1) (т — 2) г Зте (ш - 1) 4- т; /л* — /и (т — 1) (т — 2) (/л — 3) -4- 6 /я (т — 1) (т - 2) - 7 т (/я — 1 ) 4- т.
Printed with FinePnnt- purchase atwwwfmeprmt

 

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360


Математика